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已知动抛物线准线为X轴,且该抛物线经过点(0,1),则抛物线焦点的轨迹方程为

admin4个月前 (04-19)每日一学604

已知抛物线的准线是X轴,且抛物线经过点(0,1)。

因为准线是X轴,所以抛物线开口向上。对于开口向上的抛物线,其标准方程为 y^2 = 4px,其中p是焦点到准线的距离,焦点坐标为 (p, 0)。

由于抛物线经过点(0,1),代入方程得:

1^2 = 4p \

imes 0

虽然这个方程对p没有直接给出解,但由于抛物线确实经过此点,结合抛物线的性质,我们可以知道该点位于抛物线的对称轴上,且对称轴就是y轴(因为准线是X轴)。

对于开口向上的抛物线,其焦点在对称轴(y轴)上,且位于准线(X轴)的上方,所以焦点的y坐标为正,而x坐标为0(因为焦点在y轴上)。但此处我们要求的是焦点的轨迹方程,由于抛物线已经确定,焦点的位置也是确定的,即 (p, 0),其中p是待求的焦距。

由于抛物线经过(0,1),并且准线是X轴,我们可以计算出焦距p。对于开口向上的抛物线,其上任一点(x,y)到焦点(p,0)的距离等于到准线x=-p的距离。将点(0,1)代入,得到:

1^2 + p^2 = (0 + p)^2 (点到焦点的距离平方)

这个方程简化为 1 = p^2 - p^2,虽然看起来没有给出p的具体值(实际上是因为我们已知点在对称轴上,所以此方程并不用于求p),但它验证了我们的抛物线方程是合理的。

由于抛物线已经确定,其焦点的轨迹实际上就是一个点,即焦点本身。但因为题目要求“轨迹方程”,并且考虑到焦距p可以通过抛物线的性质(经过点(0,1))和准线(X轴)来确定,我们可以说焦距p是满足抛物线方程的那个值。但在此情境下,更准确的回答应该是:由于抛物线唯一确定,其焦点的“轨迹”就是焦点本身,坐标为 (p, 0),其中p是满足抛物线经过点(0,1)的焦距。为了符合题目可能要求的“方程”形式,并且考虑到p是一个定值(对于这条确定的抛物线),我们可以说焦点的轨迹方程是 x = p(y=0是准线,所以不说y的轨迹),但这里的p需要通过具体的几何或代数方法求出(对于本题,可以通过抛物线的定义和性质结合给定的点来“确定”p的值,但题目没有要求求出p的具体数值)。

但重要的是理解:对于这条确定的抛物线,其焦点的“轨迹”实际上是一个固定的点,即焦点。如果非要给出一个“方程”,那么考虑到焦点的x坐标是p(一个定值,对于这条抛物线),我们可以说焦点的x坐标满足的“方程”是 x = \

ext{某个定值},这个定值就是焦距p,它需要通过抛物线的具体性质和给定的条件来确定。

但在初等数学中,通常我们不会说一个点的轨迹方程是 x = \

ext{某个定值},因为这样的表述没有太多实际意义(它不如直接说焦点坐标是 (p, 0) 来得直接和明确)。最简洁且准确的回答应该是:由于抛物线唯一确定,其焦点的轨迹就是焦点本身,坐标为 (p, 0),其中p是满足抛物线性质的焦距(对于本题,p可以通过抛物线的定义和经过的点来确定,但题目未要求求出p的具体值)。

注意:上述回答中提到的“轨迹方程是 x = \

ext{某个定值}”是为了解释题目可能要求的“方程”形式而给出的一个不太常见的表述方式。在实际情况中,我们通常会直接说出焦点的坐标,而不是说其轨迹方程。

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