| “特征信息”的捕捉与解题的最优化 |
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| 作者：孙建斌 文章出处：论文网 发布时间：2006-5-14 |
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| “特征信息”的捕捉与解题的最优化 |
4ａｘ＋4ｂｙ＋4ｃｚ≤（ａ＋ｘ）２＋（ｂ＋ｙ）２＋（ｃ＋ｚ）２＝ｋ２＋ｋ２＋ｋ２＝3ｋ２，
于是，ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ≤（3／4）ｋ２＜ｋ２，故证毕．
可见，依定理还有意外收获，得到原式的一个加强式：ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ≤（3／4）ｋ２．而这一加强难在传统证法中体现出来．
例9 已知ａ＞1，ｂ＞1，ｃ＞1，求证：
（ａ２／（ｂ－1））＋（ｂ２／（ｃ－1））＋（ｃ２／（ａ－1））≥12．
证明：依定题，知ａ２＝［（ａ－1）＋1］２≥4（ａ－1）·1＝4（ａ－1）．同理ｂ２≥4（ｂ－1），ｃ２≥4（ｃ－1），于是，（ａ２／（ｂ－1））＋（ｂ２／（ｃ－1））＋（ｃ２／（ａ－1））≥
4（（（ａ－1）／（ｂ－1））＋（（ｂ－1）／（ｃ－1））＋（（ｃ－1）／（ａ－1）））≥4·3 ＝12，证毕．
例10 设ｘ，ｙ为非负数，且满足ｘ＋ｙ＝1，求证：
1＋ ≤ ＋ ≤2 ．
证明：考虑（ ＋ ）２＝2（ｘ＋ｙ）＋2＋2 ＝4＋2 ，或 ＋ ＝ ，依题知及定理，有0≤4ｘｙ≤（ｘ＋ｙ）２＝1，故 ≤ ＋ ≤ ．
于是1＋ ≤ ＋ ≤2 ，证毕．
定理（ａ＋ｂ）２≥4ａｂ的优化解题功效远不止这些，只要留心些，读者必定还会有所发现和创新．令人振奋的是，从基本不等式ａ＋ｂ≥2 ，平方即可得（ａ＋ｂ）２≥4ａｂ；但令人遗憾的是，ａ＋ｂ≥2 的应用，已是老生常谈，而（ａ＋ｂ）２≥4ａｂ却少见报道．笔者试图通过本文，借以引为重视!
参考文献
1 丁保荣．信息与解题．中学数学教学参考，2001，5
2 罗增儒．看透本质，优化过程．中学数学教学参考，2001，6
3 罗增儒．数学解题学引论．西安：陕西师范大学出版社，1997
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| 本文关键词：不悔 特征信息 捕捉 解题 |
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